Information zur Simulation der Coronavirus Covid-19 Pandemie

1. Motivation
2. Wie kann die Simulation dabei helfen?
3. Definitionen
4. Was ist das Problem?
5. Daten
6. Simulationsablauf und Bedienung
7. Beispiele
8. Modell
9. Modell der Datenerhebung

Motivation

• Wie verzögert sich Maßnahmen zur Isolation oder auch anders verursachte Änderungen der Infektionsrate auf die Infektionszahlen auswirken,
• wie sehr sich die reale Situation von der beobachteten unterscheidet, vor allem, wenn wenig und verzögert getestet wird,
• wie schwierig die Reproduktionszahl R und ihr zeitlicher Verlauf zu schätzen ist: Je nach den Werten der anderen Parameter wie Periode der Ansteckbarkeit, mittlerer Testzeitpunkt sowie Testhäufigkeit.
• Wie sensitiv Prognosen von den gemachten Annahmen abhängen.

Update Oktober 2020: Obiger Text wurde im April 2020 formuliert. Nun dringen die dort gemachten Bemerkungen langsam ins allgemeine Bewusstsein, insbesondere die Verzerrung der wahrgenommenen Lage durch Erhöhung der Testrate: Der vom RKI berechnete R-Wert, der eigentlich ein intrinsischer Parameter der Infektionsdynamik sein sollte, hängt von der Testrate und ihrer Veränderung ab, was offensichtlich widersinnig ist.

Wie kann die Simulation dabei helfen?

Um es (angeblich) mit Mark Twain zu sagen:

Definitionen

• Reproduktionszahl R bzw. R₀ : Wie viele Menschen ein Infizierter im Mittel ansteckt. Manchmal wird noch zwischen dem Modellparameter R₀ (Ansteckungszahl bei Durchseuchung Null) und dem tatsächlichen, sich aus der Dynamik ergebenden R-Wert mit Immunitätsgrad >0 unterschieden. In der Simulation sind immer die R₀-Werte angegeben. Diese sind immer höher als die R-Werte mit Teilimmunität
• Durchseuchung X: Der Anteil aller bisher Infizierten (nicht symptomatisch Erkrankten!) in der Bevölkerung, unabhängig vom Ausgang (aktuell infiziert, genesen oder gestorben)
• Immunitätsgrad I: Wenn alle Infizierten immun werden und keine Impfung verfügbar ist, ist I=X, bei Teilimmunität sinkt I, mit Impfungen steigt er
• Infektionsrate x: Zahl der Neuinfizierten in einem gewissen Zeitraum Δt. Bei Ausschluss von Doppelinfektionen gilt bei einer Bevölkerungszahl n
  
  x(t)=n [ X(t)-X(t-Δt) ]
  Ist Δt gleich der Dauer einer aktiven Infektion (bis zur Genesung oder Tod, etwa 3 Wochen) , stellt x die Zahl der aktiv Infizierten dar und x/n die sogenannte Prävalenz
• Testrate n_t: Zahl der Tests (egal ob positiv oder nicht) pro Zeitraum Δt (Tag oder Woche)
• Hellfeld H: Anteil der Infizierten, die getestet werden Achtung: dies ist etwas unsauber definiert, da es Testfehler gibt und H damit nicht genau der erkannten Infizierten entspricht. Mit dem wie oben definierten H werden aber die statistischen Formeln einfacher und man kann jederzeit ins "wahre" Hellfeld umrechnen.
• Bevölkerungs-Positivanteil X_t: Der Anteil aller bisher positiv Getesteten in der Bevölkerung. Dieser ist nicht gleich X, denn
  • nicht jeder Infizierte wird getestet (Dunkelfeld). Ferner sind die Tests nicht zu 100% sensitiv (Fehler erster Art, false negatives),
  • nicht jeder positiv Getestete ist infiziert, denn die Tests haben eine nichtperfekte Spezifizität (Fehler zweiter Art, false positives)
• Positivrate x_t: Zahl der positiven Testergebnisse im Zeitraum Δt. Falls jeder höchstens einmal getestet würde, gälte
  
  x_t(t)=n [X_t(t)-X_t(t-Δt)]
  
• Test-Positivanteil p_t=x_t/n_t: Anteil der positiven Tests unter allen Tests im betreffenden Zeitraum
• Y, Y_t und y_t: Anteilswert an Genesenen in der Bevölkerung sowie der Anteilswert und die Rate an Genesenen, welche vorher positiv getestet wurden. Dies ist tricky: Sind etwa symptomfrei positiv Getestete zum Testzeitpunkt bereits genesen oder nicht? Oder sind sie es, wenn sie nicht mehr ansteckend sind? Die entsprechenden Daten sind deshalb in vielen Ländern nicht konsistent/brauchbar und für uns zum Verständnis auch nicht nötig
• Anteil der an Covid-19 gestorbenen Personen in der Bevölkerung Z=Z_t sowie z_t(t)=n [Z_t(t)-Z_t(t-Δt)]. Hier gehe ich davon aus, dass jeder Covid-19-Todesfall früher oder später getestet wurde, sodass dies unter allen realen Größen die einzige bekannte ist
• Case fatality rate (CFR) : Anteil der positiv Getesteten, die schließlich ursächlich an Covid-19 sterben. Update 2020-09: Die CFR liegt nun um oder unter 1%, anfangs war sie etwa 4-6%, siehe die "Infektionsraten"-Ansicht der Visualisierung
• Infection fatality rate (IFR) : Anteil der Infizierten, die schließlich ursächlich an Covid-19 sterben. Wegen der unbekannten Dunkelziffer kann sie nicht aus den allgemeinen Infektionszahlen, sondern nur durch dezidierte Untersuchungen geschätzt werden. Die simulierte IFR liegt ab Sommer in den meisten Ländern im Promillebereich

Was ist das Problem?

• Die Reproduktionszahl R₀ bzw R=R₀(1-I) gibt die aktuelle Infektiosität bzw. Dynamik an (R ist nicht das Verhältnis zweier Positivraten, wie aus den obigen Definitionen klar werden sollte!),
• die IFR gibt an, wie schlimm die Seuche für den Einzelnen ist,
• die Infektionsrate x multipliziert mit der IFR, wie schlimm sie gegenwärtig für die Volkswirtschaft ist bzw. wie voll die Intensivstationen in etwa zwei Wochen sind,
• die Durchseuchung X bzw. der Immunitätsgrad I, wie weit sie fortgeschritten ist, d.h. wie die Lage für die Volkswirtschaft in Zukunft sein wird.

• Abhängigkeit des Hellfeldes von der Testrate: Offensichtlich werden umso mehr Infizierte erwischt, je mehr getestet wird. Aber dies geht nicht linear mit der Testrate n_t, da ein Auswahleffekt vorliegt: Leute mit Symptomen werden wahrscheinlicher getestet und Massentests an Symptomfreien kommen erst zum Schluss dran. Ich nehme daher eine wurzelförmige Abhängigkeit an, bei der alle Infizierten getestet werden (H=1), wenn die Testrate n_t gleich n_t^max=n₀/Woche ist, also alle in jeder Woche (in etwa der Ansteckungszeitraum) einmal durchgetestet werden. In der Simulation kann man die Abhängigkeit auch abstellen und das Hellfeld direkt durch einnen Schieberegler einstellen.
  
  
• Testfehler: Ich nehme eine
  • Sensitivitätsfehler α=2% an, d.h. aktiv Infizierte werden fälschlicherweise negativ getestet, sowie (wichtiger!) eine
  • Spezifizitätsfehler β=0.3% an. Dies gibt die False-Positive-Rate an, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass gesunde Personen (ggf. auch bei einem Nachtest) positiv getestet werden.
  
  Fatal daran ist, dass man bei einer geringen Prävalenz x/n überproportional viele false Positives erhält, weit mehr als der Anteil β. Bei Zufalls-Massentests erhält man man sogar mehr false Positives als echte Infizierte, wann immer der β-Fehler größer als die Prävalenz ist!
  
  
• Todesfälle durch (nicht mit!) Covid 19: Hier nehme ich im Gegensatz zum Infiziertenstatus ein 100%-iges Hellfeld an.

Daten

1. Täglich aktualisierte, kompakte Zeitreihen, synthetisiert von Rodrigo Pombo, die direkt live geladen werden,
2. weitergehende, ebenfalls täglich aktualisierte Daten des Our World in Data (OWiD) Projekts, welche auch Informationen über die Testhäufigkeiten enthalten. Diese Datenquelle ist aber zu groß, um sie life zu laden. Sie wird deshalb serverseitig extrahiert und Redundanzen eliminiert, um nur die relevanten Informationen laden zu müssen.

Simulationsablauf und Bedienung

• zwölf andere Länder und
• fünf weitere Ansichten (Simulation der kumulierten Größen, logarithmische Darstellung, Fallzahlen-Ansicht mit simulierten "wahren" Infektionszahlen, Test-Ansicht und Infektionsraten) einstellbar.

• Die Regler für die Reproduktionsrate R₀ und des Hellfeldes "zappeln" nach Maßgabe des Fit-Ergebnisses bzw. des obigen Quadratwurzel-Modells hin und her. Die gefittete IFR ist in der Infektionsratenansicht einsehbar.
• Die jeweils geschätzte Reproduktionsrate wird als grauer Text auch in die Simulation eingezeichnet.
• Sobald man diesen oder den Hellfeldregler selbst bedient, wird die Schätzung beendet und die angezeigten R₀-Werte entsprechen der eigenen Aktion. Natürlich werden dann i.A. die simulierte und real gemachte Positivzahlen nicht mehr übereinstimmen. Dies gilt natürlich auch, wenn man andere Regler bedient: In beiden Fällen kann man dann neu kalibrieren, um die für die neuen Einstellungen am besten passenden R₀- und IFR-Werte zu erhalten.

• Mit kann man die Simulation für eine Szenarienanalyse vom aktuellen Zeitpunkt aus fortführen und mit wieder stoppen.
• Mit startet man die Simulation vom Anfang an mit den gerade eingestellten Parametern. Hat man nach dem letzten Reset oder der letzten Länderwahl den R₀-Regler nicht geändert, wird die Parameterschätzung wieder aktiviert und angezeigt.
• Mit führt man den "Reset auf die Werkseinstellungen" durch. Nur das eingestellte Land bleibt unverändert.

• Länderwahl 12 weitere interessante Länder sind wählbar
  
  
• Wahl der Ansicht
  • Simulation+Daten Standardeinstellung: Hier sieht man den Übereinstimmungsgrad der Simulation der täglichen Positivzahlen und Todesfälle mit den Bobachtungsdaten. Als einziger "wahrer" Infektionswert wird die simulierte Durchseuchungsrate als Text angezeigt
    
    
  • Simulation (kum) Übereinstimmungsgrad der Simulation der kumulierten Positivzahlen und Todesfälle mit den Bobachtungsdaten. Man beachte die unterschiedliche Skalierung durch die Multiplikatore 100 (Todesfälle) und 1000 (Testpositive). Für manche Länder wird auch die Zahl der Genesenen gezeigt, diese Größe ist aber, wie bereits erwähnt, häufig nicht gut definiert und inkonsistent.
    
    
  • Logarithmische Simulationsansicht. Hier sieht man zusätzlich die simulierten nichtbeobachtbaren Größen "Zahl der aktiv Infizierten" und "Durchseuchung".
    
    
  • Daten: Faelle Hier sind im Gegensatz zu den ersten beiden Ansichten die täglichen anstelle der kumulierten Daten gezeigt: Beobachtete Zahl der Positiv-Fälle" und Zahl der Todesfälle" im Vergleich zur Simulation. Man beachte, dass die simulierten Neuinfektionen um eine Größenordnung größer sind als die positiv getesteten und zeitlich vorauseilen, vor allem wenn man den Regler "Test nach ..." auf hohe Werte stellt.
    
    
  • Daten: Tests Hier liegt der Fokus auf die Tests und deren Unzulänglichkeiten: Die realen Infektionsfälle sind bei den Standardparametern um eine Größenordnung größer als die beobachteten und eilen letzteren voraus. Man sieht auch, dass aufgrund der steigenden Testrate (blaue Punkte) die Zahl der Positivfälle im Vergleich zu den Realfällen zunimmt, zumindest, wenn man das Quadratwurzelmodell nicht ausschaltet (Ignoriere Testhäufigkeit). Schließlich wird die Zahl der simulierten false Positives bei einem Beta-Fehler β=0.3% gezeigt. Man beachte die Multiplikatoren 1,10 und 100, damit alle Daten auf eine Grafik passen!
    
    
  • Infektionsraten-AnsichtNeben den allein aus den Daten extrahierbaren relativen Größen "Positivanteil" und case fatality rate(CFR) wird hier die gefittete infection fatality rate(IFR) geplottet.
  
  
• Kalibriere neu! Dreht man an den Reglern oder wählt ein konstantes Hellfeld, ist die Simulation bezüglich der Reproduktionsraten nicht mehr an die Positivenzahl gefittet, da das Modell auch andere Faktoren hat. Hier kann man mit den aktuellen Einstellungen R₀ neu fitten.
  
  
• Berücksichtige Testhäufigkeit Schaltet zwischen dem obigen Quadratwurzelmodell für das Hellfeld und einem konstanten durch den Schieberegler einstellbaren Wert hin und her.
  
  
• Die Schieberegler für die wichtigsten Modellparameter lassen sich bei gestoppter und auch bei laufender Simulation bedienen.
  
  
• Der erste Regler für die Reproduktionszahl R₀ ohne jede Herdenimmunität ist der wichtigste. Sobald man ihn bedient, ist die anfängliche Schätzung nicht mehr aktiv.
  
  
• Die Regler Ansteckungsstart und Ansteckungsende machen den Ansteckungszeitraum, bezogen auf den eigenen Infektionszeitpunkt einstellbar
  
  
• Im Gegensatz dazu lassen sich mit den Reglern Test nach ... und Hellfeld zusammen mit den Button Berücksichtige Testhäufigkeit Annahmen über die Tests im Sinne einer Szenarienanalyse ändern.

Beispiele

1. Szenario "Unverändert": Drücken Sie nach dem Stopp der Simulation auf und stoppen Sie die Simulation nach einigen Monaten bzw. wenn im Falle von R₀ > 1 die Infektionsspitze erreicht ist. Schlussfolgerung: Sie sehen, dass fast überall höhere Fallzahlen prognostiziert werden (in Deutschland sogar die berühmten knapp 20 000 zu Weihnachten), in kaum einen Land aber die Todesfallzahlen vom Frühjahr erreicht werden. Ferner ist die Pandemie im Frühjahr fast überall vorbei, in einigen Ländern wie Schweden schon eher (beachten Sie aber Mark Twain).
   
   
2. Szenario "Sensitivitätsanalyse bezüglich R₀": Lassen Sie die Simulation mit neu laufen bis zur Gegenwart, verändern Sie nun den R-Wert um einen kleinen Betrag, z.B. von 1.15 auf 1.05 und lasen Sie die Simulation mit weiterlaufen. Sie werden ganz andere Ergebnisse erhalten, z.B. in Deutschland eine Abnahme der Neuinfektionen und kaum noch Todesfälle (auch wenn R₀ > 1 ist, können die tägliche Fallzahlen nach unten gehen, wenn eine hinreichende Durchseuchung I erreicht ist so dass R = R₀ (1-I) < 1 ). Schlussfolgerung: Einzig mit dem geschätzten R-Wert weiterzusimulieren ist komplett unseriös, da Unsicherheiten in R von 0.1 zu um den Faktor 10 unterschiedlichen Peaks führen können. Eine Aussage wie "zu Weihnachten wird es 19 600 Fälle pro Tag geben" lässt auf mangelndes Modellversändnis (oder eine Agenda) schließen!
   
   
3. Szenario "Lockdown": Am besten die Ansicht Simulation+Daten oder Daten: Tests wählen und mit Kalibriere neu! die R-Werte neu bis zur Gegenwart fitten. Dann, als Folge der Lockdown-Maßnahme, den R-Wert deutlich unter 1, z.B. 0.8, schieben und weitersimulieren. Während die tatsächlichen Nuinfektionen sofort sinken (Test-Ansicht), folgen die gemessenen positiven Fallzahlen zunächst eine Woche den bisherigen Trend, ehe auch sie sinken. In der kumulierten Ansicht Simulation (kum), in der nur simulierte Messungen gezeigt werden, erkennt man eine Woche lang überhaupt keine Wirkung. Wie die Situation wirklich aussieht, erkennt man in der Simulation (log) Ansicht: Insbesondere fällt die tatsächliche Neuinfektionsrate geradlinig nach unten, was einem exponentiellen Abfall enstpricht. Schlussfolgerung: die Folgen von Eingriffen in das Infektionsgeschehen kann man nur verzögert beobachten/messen
   
   
4. Szenario "Sensitivitätsanalyse: Änderung des Infektionszeitraums oder der Testverzögerung": Der mit den zweiten und dritten Regler einstellbare Infektionszeitraum ist neben dem R-Wert der wichtigste Parameter der Infektionsdynamik. Wie beeinflusst er die R-Schätzung? Stellen Sie zunächst mit Reset , den Ausgangszustand her und merken sich die geschätzten R-Werte. Ändern Sie nun den Zeitraum, z.B. Ansteckungsstart 6 Tage statt 1 Tag nach der eigenen Infektion und drücken Sie Kalibriere neu!: Je kleiner der mittlere Ansteckungstag ist, desto näher sind die R-Schätzungen um 1, die Ereignisse "R-Werte oberhalb 1" bzw "unterhalb" sind aber robust. Auch die Prognose "Unverändert" (einfach weitersimulieren in der Ansicht "Tests") ändert sich, oft aber erstaunlich wenig. Hier sieht man deutlich, dass die aus den Daten geschätzten R-Werte weit von den realen Werten der Infektionsdynamik entfernt sein können und zwar sowohl von R₀ (mittlere Zahl der Ansteckungen pro Person ohne Immunität) als auch von R (mit Teilimmunität)
   
   
5. Szenario "Änderung der Testrate": Stellen Sie zunächst mit Reset , den Ausgangszustand her, verschieben Sie den Hellfeld-Regler auf das Maximum und kalibrieren Sie neu. In der Ansicht Simulation+Daten sehen Sie nichts, da dort nur (reale oder simulierte) Beobachtungen zu sehen sind und die Simulationsparameter, inbesondere die R-Werte, an die neue angenommene Situation angepasst wurden. Simulieren Sie mit weiter, sehen Sie einen viel drastischeren Verlauf als vorher. Wiederholen Sie das Ganze mit der minimalen Hellfeld-Einstellung und Sie sehen in der Zukunftsprojektion ein Ende der Epidemie in wenigen Wochen obwohl sich bis zur Gegenwart nichts geändert hat! Warum?
      Dazu sehen Sie in den anderen Ansichten nach, in der logarithmischen sehen Sie beispielsweise eine im Fall eines geringeren Hellfeldes höhere Durchseuchung und in den anderen Ansichten höhere tägliche tatsächliche Infektionsraten. Klar: Um bei einem geringeren Hellfeld auf die beobachteten Fallzahlen zu kommen, müssen mehr infiziert werden! Die Projektionen hängen also stark vom angenommenen Hellfeld ab!
   
   
6. Szenario "dynmische Erhöhung der Testrate": Dieses wichtige Szenario zeigt, wie man allein durch eine zeitlich veränderliche Testrate zu völlige falsche Schlussfolgerungen kommen kann! Stellen Sie das Hellfeld auf mittlere Werte (durch Nutzung des Reglers wird die automatische Testzahlkorrektur ausgeschaltet) und kalibrieren Sie neu. Erhöhen oder erniedrigen Sie nun während der Simulation in der Ansicht Simulation+Daten oder Simulation (kum) das Hellfeld und sehen Sie, was passiert! Allein durch erhöhtes Testen kann man bei stabilen realen Infektionsgeschehen einen Neuanstieg ("zweite Welle") vortäuschen, der einen möglicherweise realen Anstieg kaschiert!

Modell

• Jeder Infizierte steckt im Laufe seiner Krankheit
  
  R(t)=R₀(t) (1-I)
  andere Personen an. Hierbei bedeuten R₀(t) den durch verschiedene Maßnahmen und/oder durch das Wetter zeitlich veränderlichen Reproduktionszahl ohne Immunität und I den Immunitätsanteil.
  
  
• Der Immunitätsanteil I=X
  wird gleich der Durchseuchungsrate gesetzt, also gleich der Summe des Anteils der gerade (auch symptomfrei) erkrankten Personen, des Anteils Y aller bereits wieder gesundeten Personen und des Anteils Z der gestorbenen Personen. Es wird also davon ausgegangen, dass jeder nur einmal erkranken kann und dass keine Impfungen verfügbar sind, die I weiter erhöhen würden. Alle Anteilswerte beziehen sich immer auf die Bevölkerungszahl am Anfang der Pandemie. Die Summe sonstiger Zuwächse oder Abnahmen der Bevölkerung wird gleich null gesetzt.
  
  
• Die Ansteckung geschieht gleichverteilt innerhalb einer mit Schiebereglern einstellbaren Spanne des Infektionsalters τ. Der Einfachheit halber ist die Ansteckungsverteilung unabhängig vom Alter und von der Existenz oder Schwere der Symptome.
  
  
• Die Infizierten sterben im Laufe der Krankheit mit der wahren Sterblichkeit IFR, und zwar gleichverteilt nach τ_D±2 Tagen
  
  
• Mit der Komplementärwahrscheinlichkeit (1-IFR) erholen sich die Infizierten, und zwar gleichverteilt τ_Rec±2 Tage nach der Infektion.

Modell der Datenerhebung

• Getestet wird ein durch das Hellfeld H charakterisierter Anteil an (auch symptomfrei) real erkrankten Personen. Dazu gibt es im Simulator zwei Möglichkeiten der Modellierung:
  1. datengetrieben durch die Anzahl n_t an täglichen Tests durch
     
     H=sqrt(7n_t /n₀)
     Hier steckt die Annahme dahinter, dass bei einer wöchentlichen Volltestung aller n₀ Personen das Hellfeld 100% ist und bei geringerer Testung zunächst die Verdachtsfälle getestet werden
  2. direkt durch den Schieberegler. Dann ergibt sich die Zahl der Tests implizit durch Umkehrung der obige Formel